Soal Persamaan Kuadrat SMP

 Soal No. 1

Diberikan bentuk umum persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0. Dari bentuk bentuk dibawah ini tentukan masing-masing nilai dari a, b, dan c!
(i) 2x(x – 3) = 8
(ii) x² -5x = – 12
(iii) 3x + ⁶/_x = 5

Pembahasan
Ubah bentuknya menjadi ax² + bx + c = 0 pada semua item:
(i) 2x(x – 3) = 8
2x² -6x = 8
2x² -6x – 8 = 0
Terlihat, a = 2, b = -6 dan c = -8

(ii) x² -5x = -12
x² -5x + 12 = 0
Terlihat, a = 1, b = -5 dan c = 12

(iii) x + ⁶/_x = 5
Ruas kiri dikalikan x, ruas kanan juga dikalikan x sehingga
(3x + ⁶/_x)x = 5x
x² + 6 = 5x
3x² – 5x + 6 = 0
Terlihat, a = 3, b = -5 dan c = 6

Soal No. 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan kuadrat berikut ini:
(i) x² – 9 = 0
(ii) x² – 16 = 0

Pembahasan
Untuk menentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat, tentukan nilai x₁ dan x₂ salah satu caranya dengan pemfaktoran:
(i) x² – 9 = 0
Bentuk a² – b² = (a – b)(a + b)

Sehingga
x² – 9 = 0
x² – 3² = 0
(x – 3)(x + 3) = 0
x – 3 = 0
x = 3

atau
(x + 3) = 0
x = -3
Himpunan penyelesaiannya {x₁, x₂} = {-3, 3}

(ii) x² – 16 = 0
Dengan cara yang sama nomor sebelumnya:
x² – 16 = 0
x² – 4² = 0
(x – 4)(x + 4) = 0
(x – 4) = 0
x = 4

atau
(x + 4) = 0
x = -4
HP adalah {-4, 4}

Soal No. 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat 2x² + 7x + 3 = 0

Pembahasan
Dengan pemfaktoran:
2x² + 7x + 3 = 0
(2x + 1)(x + 3) = 0
(2x + 1) = 0
2x = -1
x = -1/2

atau

(x + 3) = 0
x = -3
Himpunan penyelesaian adalah {-3, -1/2}

Soal No. 4
Diketahui sebuah segitiga siku-siku dengan panjang sisinya berturut-turut adalah x, x + 3, dan x + 6. Tentukan:
a) nilai x
b) panjang ketiga sisi segitiga

Pembahasan
a) Pada sebuah segitiga siku-siku berlaku aturan pythagoras dimana kuadrat sisi terpanjang sama dengan jumlah dari kuadrat dua sisi lainnya.
(x + 3)² + x² = (x + 6)²
x² + 6x + 9 + x² = x² + 12x + 36
x² + 6x + 9 + x² – x² – 12x – 36 = 0
x² -12x -27 =0

Faktorkan:
(x – 9)(x + 3) = 0
(x – 9) = 0
x = 9

atau
(x + 3) = 0
x = -3
Nilai yang mungkin adalah x = 9

b) panjang ketiga sisi segitiga
sisi pertama = x = 9
sisi kedua = x + 3 = 9 + 3 = 12
sisi ketiga = x + 6 = 9 + 6 = 15

Soal No. 5
Diberikan persamaan kuadrat x² – 7x + 12 = 0 yang memiliki akar-akar x₁ dan x₂

Tentukan nilai dari:
a) x₁ + x₂
b) x₁ ⋅ x₂

Pembahasan
Pada persamaan kuadrat berlaku untuk jumlah dan hasil kali akar-akarnya sebagai berikut:
x₁ + x₂ = -b/a
x₁ ⋅ x₂ = c/a

Sehingga:
a) x₁ + x₂ = -b/a = -(-7)/1 = 7
b) x₁ ⋅ x₂ = c/a = 12/1 = 12

Koordinat Kartesius: Matematika Kelas 8

Pengertian Koordinat Kartesius

Koordinat kartesius atau disebut juga dengan koordinat persegi panjang dikembangkan oleh seorang filsuf abad ke-17 asal Prancis  bernama Rene Descartes. Ia membuat suatu sistem koordinat yang disebut dengan cart, yaitu diagram cartesius atau cartesian. Lalu, apa sih sebenarnya koordinat kartesius itu? Koordinat kartesius merupakan sistem yang menetapkan setiap titik di dalam bidang dengan serangkaian koordinat numerik yang bisa ditentukan jaraknya dari kedua sumbu x dan y. Simpelnya, koordinat kartesius itu digunakan untuk menentukan posisi titik pada bidang koordinat. Seperti ini ilustrasi dari diagram kartesius berikut ini:

Koordinat kartesius titik (6,4) pada sumbu x dan y

Dari ilustrasi di atas, bisa kita lihat bahwa garis mendatar ke kiri-kanan disebut x, sedangkan garis vertikal ke atas-bawah disebut y. Jadi, titik tersebut terletak pada (6,4) dengan titik tumpuannya adalah 0.

Cara Membuat Koordinat Kartesius

Sekarang kamu tau ‘kan gambaran dari koordinat kartesius itu seperti apa. Nah, selanjutnya kita coba untuk membuatnya, yuk! Ini dia cara membuat koordinat kartesius.

Membuat Garis Bilangan

Langkah pertama untuk membuat koordinat kartesius adalah dengan membuat garis bilangan. Kamu buat dulu garis bilangan horizontal (kiri-kanan) untuk x, kemudian gambar lagi garis bilangan tapi dengan arah vertikal (atas-bawah) untuk y. Nah, titik potong antara kedua garis tersebut terletak pada O atau 0. Untuk lebih jelasnya, kamu bisa lihat gambar berikut ini.

Konsepnya sama seperti garis bilangan, bahwa ke arah kanan dan atas ditunjukkan dengan bilangan positif. Sedangkan, arah kiri dan bawah ditunjukkan dengan bilangan negatif. Untuk titik potong (0) disebut dengan titik acuan atau titik koordinat.

Menentukan Kuadran

Posisi titik pada bidang koordinat kartesius bisa dibagi menjadi 4 bagian lho, guys: kuadran I, kuadran II, kuadran III, dan kuadran IV. Untuk membuat koordinat suatu titik, kamu harus memperhatikan aturan tanda dari berbagai kuadran tersebut. Begini aturannya:

• Kuadran I: daerah sumbu x dan y bernilai positif.
• Kuadran II: daerah sumbu x negatif dan y positif.
• Kuadran III: daerah sumbu x dan y bernilai negatif.
• Kuadran IV: daerah sumbu x positif dan y negatif.

Menulis Titik Koordinat

Setelah membuat garis bilangan seperti pada gambar di atas, sekarang kita menulis koordinatnya. Koordinat selalu ditulis dengan aturan sebagai berikut:

• Jarak titik dari garis horizontal (x) ditentukan terlebih dahulu (absis).
• Selanjutnya, tuliskan jarak titik dari garis vertikal (y) di belakang koma (ordinat).

Contoh penulisan koordinat:

(6,4)

Arti penulisan koordinat tersebut yaitu angka 6 menunjukkan 6 langkah ke kanan (pada garis x), dan 4 langkah ke atas (pada garis y). Keduanya sama-sama melangkah dari 0. (lihat gambar koordinat kartesius pada poin pengertian di atas).

Sekarang kalau ada koordinat seperti ini (0,4), kamu tidak perlu bingung. Berarti kalau dari sumbu x terletak di 0, kemudian dari sumbu y terletak pada angka 4.

Oh iya, perlu kamu ketahui juga kalau garis horizontal (x) itu menunjukkan berapa jauh jarak titik tersebut dari titik 0. Sedangkan, kalau garis vertikal (y) menunjukkan berapa tinggi atau rendahnya titik tersebut dari titik 0.

Contoh Soal dan Pembahasan

Pengertian koordinat kartesius udah, gambarnya juga udah tau, terus cara menentukan koordinat kartesius juga udah. Agar lebih lengkap lagi dalam memahami koordinat kartesius, kita bahas contoh soal koordinat kartesius, yuk!

Soal

Perhatikan gambar di bawah ini!

Dari gambar di atas, terlihat ada tiga titik E, F, dan G. Tentukan titik koordinat ketiganya!

Jawab

• Titik E berada pada koordinat (2,2). Diperoleh dengan cara bergerak horizontal ke kanan sejauh 2 langkah satuan, kemudian tegak ke atas sebanyak 2 satuan. Titik E berada pada kuadran I, sehingga x dan y bernilai positif.
• Titik F berada pada koordinat (-2,1). Diperoleh dengan cara bergerak horizontal ke kiri sejauh 2 satuan, dan tegak ke atas sejauh 1 satuan. Titik F terletak pada kuadran II, sehingga x negatif dan y positif.
• Titik G berada pada koordinat (-3,-3). Diperoleh dengan cara bergerak horizontal ke kiri sejauh 3 satuan, dan tegak ke bawah sejauh 3 satuan. Titik G terletak pada kuadran III, sehingga x dan y bernilai negatif.

MATERI HIMPUNAN KELAS 7

 

A. Himpunan dan Notasinya

 

Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang terdefinisi dengan jelas.

Untuk lebih jelasnya, coba Gengs perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 1

"Kumpulan bunga-bunga yang indah". Kalimat pertama ini tidak dapat kita sebut himpunan karena bunga yang indah itu relatif (bunga yang indah  menurut seseorang belum tentu indah menurut orang lain).  Dengan kata lain, kumpulan bunga indah tidak dapat didefinisikan dengan jelas.

Contoh 2

"Rombongan siswa SMP PP yang berwisata ke pulau dewata". Kalimat kedua ini adalah himpunan. Mengapa? karena dengan jelas pada kalimat tersebut dikatakan bahwa yang berwisata ke pulau dewata  ialah siswa-siswi SMP PP.

 

Contoh 3

"Kumpulan makanan enak". Kalimat ini bukan merupakan suatu himpunan, karena makanan enak seseorang belum tentu enak menurut orang lain. Dengan kata lain, objek yang terdapat pada kalimat tersebut tidak terdefinisi dengan baik.

 

Contoh 4

"Kumpulan bilangan cacah yang kurang dari5". Kalimat ini merupakan himpunan karena anggotanya dapat disebutkan yaitu 0, 1, 2, 3 dan 4.

 

Lambang Himpunan

Suatu himpunan biasanya diberi nama dengan huruf kapital, seperti A, B, X, Z dan sebagainya. Anggota himpunan dituls di antara tanda {} (kurung kurawal), dan antara anggota yang satu dengan lainnya dipisahkan dengan tanda koma (,).

Untuk lebih jelasnya, coba Gengs perhatikan contoh berikut:

A adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari 6.

Kalimat diatas tersebut dapat kita tulis, A = {1, 2, 3, 4, 5}

 

Menyatakan Suatu Himpunan

Ada 3 (tiga) cara yang dapat dilakukan untuk menyatakan suatu himpunan yaitu sebagai berikut:

1. Menyatakan suatu himpunan dengan kata-kata

Perhatikan contoh berikut.

W = {empat huruf pertama dalam abjad latin}

H = {tokoh-tokoh yang pernah menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009}

A = {bilangan cacah yang kurang dari sepuluh}

 

2. Menyatakan suatu himpunan dengan notasi pembentuk himpunan

Ketentuan penulisan notasi pembentuk himpunan adalah sebagai berikut:

{x|.......}

Keterangan:

x = variabel atau peubah yang menyatakan anggota suatu himpunan

| = dibaca "di mana"

.... = penyataan kalimat matematika yang menjadi syarat keanggotaan.

Perhatikan contoh berikut

A = {x|x = lima huruf pertama dalam abjad latin}

Dibaca : Himpunan A adalah himpunan yang anggotanya p, dimana p adalah lima huruf pertama dalam abjad latin.

H = {x|x = tokoh-tokoh yang pernah menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009}

Dibaca : Himpunan X adalah himpunan yang anggotanya x, dimana x adalah tokoh-tokoh yang pernah menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009.

 

3. Menyatakan suatu himpunan dengan cara mendaftar

Pada metode ini, anggota himpunan yang disebutkan satu per satu dalam kurung kurawal yang setiap anggota himpunan dipisah kan dengan tanda koma.

Perhatikan contoh berikut ini.

H = {Soekarno, Soeharto, B.J. Habibie, Abdurrahaman Wahid, Megawati, Susilo Bambang Yudoyono}

A = {0, 1, 2, 3}

L = {a, b, c, d, e}

 

B. Anggota Himpunan

Setiap benda/objek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota/unsur/elemen himpunan tersebut. Untuk menyatakan suatu objek merupakan anggota himpunan, ditulis dengan lambang “∈” sedangkan untuk menyatakan suatu objek bukan, anggota himpunan ditulis dengan lambang “∉”. 

Perhatikan contoh berikut

Contoh 1

Misalkan H adalah himpunan huruf-huruf pada kata “MERDEKA”  maka H adalah himpunan  yang anggota-anggotanya terdiri atas huruf-huruf M, E, R, D, E, K dan A.  Huruf M, E, R, D, E, K dan A termasuk anggota himpunan H. Banyaknya anggota himpunan H adalah 6 buah, yaitu M, E, R, D, E, K dan A ditulis n(H) = 6.

 

Contoh 2

Misalkan I adalah himpunan huruf-huruf pada kata “MATEMATIKA”  maka I adalah himpunan  yang anggota-anggotanya terdiri atas huruf-huruf M, A, T, E, M, A, T, I, K dan A.  Huruf M, A, T, E, M, A, T, I, K dan A termasuk anggota himpunan I. Banyaknya anggota himpunan I adalah 10 buah, yaitu M, A, T, E, M, A, T, I, K dan A ditulis n(I) = 10.

 

Himpunan dengan banyak anggota berhingga disebut himpunan hingga, sedangkan himpunan dengan banyak anggota tidak berhingga disebut himpunan tidak berhingga. Misalnya, A adalah himpunan bilangan asli, maka anggota-anggota adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan seterusnya maka anggota himpunan A adalah tidak berhingga, ditulis n(A) = tidak berhingga.

 

C. Himpunan Bagian

Pengertian Himpunan Bagian

Himpunan A adalah himpunan bagian dari B, jika dan hanya jika setiap anggota dari A merupakan anggota dari B. Ditulis A ⊂ B, dibaca "A himpunan bagian B".

Perhatikan himpunan-himpunan berikut:

A = {himpunan hewan}

B = {himpunan hewan berkaki empat}

C = {himpunan hewan berkaki empat yang bertelur}

Misalkan A, B dan C adalah sebagai berikut:

A = {kucing, anjing, buaya, kura-kura, burung}

B = {kucing, anjing, buaya, kura-kura}

C = {buaya, kura-kura}

 

Jika kita perhatikan, setiap anggota himpunan B merupakan anggota himpunan A, ditulis B ⊂ A dan setiap anggota himpunan C merupakan anggota himpunan B, ditulis C ⊂ B. Namun, kita tidak dapat menuliskan A ⊂ B karena ada anggota A yang bukan merupakan anggota B, yaitu burung. Oleh karena itu himpunan yang demikian ditulis A ⊄ B.

 

Menentukan Banyak Himpunan Bagian yang Mungkin (Rumus)

Banyaknya suatu himpunan, dengan mudah dapat kita tentukan dengan menggunakan rumus.

Perhatikan himpunan-himpunan berikut!

A = {a}, banyaknya himpunan bagian ada 2 yaitu {a} dan ∅

A = {a, b}, banyaknya himpunan bagian ada 4 yaitu {a} {b} {a, b} dan ∅

A = {a, b, c }, banyaknya himpunan bagian ada 8 yaitu {a} {b} {c} {a, b} {a, c} {b, c} {a, b, c} dan ∅

A = {a, b, c, d}, banyaknya himpunan bagian ada 16 yaitu {a} {b} {c} {d} {a, b} {a, c} {a, d} {b, c} {b, d} {c, d} {a, b, c} {a, b, d} {a, c, d} {b, c, d} {a, b, c, d}  dan ∅

Dari 4 (empat) himpunan di atas dapat kita lihat bahwa

n(A) = 2 = 2^1

n(A = 4 = 2^2

n(A) = 8 = 2^3

n(A = 16 = 2^4

Dengan demikian kita dapat membuat suatu kesimpulan yaitu sebagai berikut

Jika banyak anggota dari suatu himpunan ada "n" maka dari himpunan tersebut dapat dibuat himpunan bagian sebanyak 2n. 

Contoh:

Tentukan banyaknya himpunan bagian dari A jika A = {1,2,3}

Jawab:

n(A) = 3

jadi, N = 2³ = 8

Himpunan bagian dari A adalah sebagai berikut:

A= {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3} ∅

 

D. Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong dinyatakan dengan lambang "{}" atau "∅".

Perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 1

Himpunan A adalah himpunan yang anggotanya merupakan bilangan asli antara 3 dan 4.

Jawab:

A =∅ atau A = {} karena tidak ada bilangan asli antara 3 dan 4.

 

Contoh 2

Jika H adalah himpunan nama-nama hari yang dimulai dengan huruf B, nyatakan dalam notasi himpunan L

Jawab :

H =∅ atau H = {} karena tidak ada nama hari yang dimulai dengan huruf B.

 

Contoh 3

B = {bilangan cacah antara 2 dan 3}

Jawab:

Himpunan ini tidak memiliki angota, sehingga himpunan ini disebut kosong.

Ditulis, B = {} atau B = ∅

 

Contoh 4

Selidikilah apakah himpunan berikut kosong atau bukan!

a. himpunan bilangan prima genap

b. himpunan bilangan genap yang habis dibagi 7

c. himpunan nama bilangan yang lamanya 32 hari tiap bulan

Jawab:

a. Bukan himpunan kosong karena ada anggotanya, yaitu: 2

b. Bukan himpunan kosong karena ada anggotanya, salah satunya adalah 42 habis dibagi 7 yaitu 6

c. Himpunan kosong, karena tidak ada 32 hari dalam sebulan

 

E. Himpunan Semesta

Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua objek yang sedang dibicarakan. Hal ini berarti semesta pembicaraan mempunyai anggota yang sama atau lebih banyak dari pada himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga himpunan universal dan disimbolkan S atau U. 

Perhatikan contoh berikut.

Contoh

Jika A = {1, 3, 5, 7} maka dari himpunan A dapat ditentukan himpunan semesta yang mungkin yaitu.

a. S_1 = {bilangan ganjil} karena himpunan bilangan ganjil memuat semua anggota A.

b. S_2 = {bilangan asli} karena himpunan bilangan asli juga memuat semua anggota A.

c. S_3 = {1,3,5,7,9,11} karena himpunan ini memuat semua anggota A.

 

F. Diagram Venn

Himpunan dapat dinyatakan dalam bentuk gambar yang dikenal sebagai diagram Venn. Diagram Venn diperkenalkan oleh pakar Matematika, Inggris pada tahun 1834-1923 bernama John Venn dalam membuat diagram Venn yang perlu diperhatikan yaitu:

1. Himpunan semesta (S) digambarkan sebagai persegi panjang atau bersegi, sedangkan anggota-anggotanya digambarkan dengan noktah.

2. Setiap himpunan yang dibicarakan (selain himpunan kosong) ditunjukkan oleh kurva tertutup sederhana.

3. Jika suatu himpunan anggotanya terlalu banyak atau tak berhingga maka noktahnya tidak perlu di gambarkan.

 

G. Irisan

Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A sekaligus menjadi anggota B.

Apabila dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan akan seperti berikut.
 A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}

Contoh :

A = {bilangan asli yang kurang dari sama dengan 5}

B = {bilangan asli antara 3 dan 7}

Tentukan A∩B

Jawab :

A = {1,2,3,4,5}

B = {4,5,6}

Maka A∩B = {4,5}, karena 4 dan 5 adalah anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B.

 

H. Gabungan

Gabungan dari dua buah himpunan akan menghasilkan suatu himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota kedua himpunan tersebut. Operasi gabungan pada himpunan disimbolkan dengan “∪”.

Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A atau anggota B.

Apabila dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan akan seperti berikut.
A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}

Perhatikan contoh berikut.

Misalkan P = {bilangan asli kurang dari 8} dan Q = {bilangan prima antara 2 dan 13}

Tentukan P ∪ Q !

Jawab:

P = {1,2,3,4,5,6,7}

Q= {3,5,7,11}

Sehingga, P ∪ Q = {1,2,3,4,5,6,7,11}

 

I. Komplemen

Bila suatu himpunan A, semestanya S, maka komplemen dari A (ditulis Ac) adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota S yang bukan A.

Apabila dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan akan sebagai berikut.
Ac = {x | x ∈ S atau x ∉ A} 

Misalkan:

S = {1,2,3,4,5,6,7}

Q = {2,3,4,}

Himpunan S yang anggotanya selain anggota himpunan Q adalah {1,5,6,7}.

 

J. Penerapan Konsep Himpunan

Himpunan ini tidak hanya dipelajari di sekolah, namun sering digunakan dalam praktik kehidupan sehari-hari. Berikut ini adalah contoh kasusnya.

Misalkan suatu kelas terdiri dari 42 orang. 20 orang gemar matematika dan 25 orang gemar Bahasa Indonesia. Berapa orang yang gemar keduanya?

Pembahasan 

Diketahui:

Banyak siswa di kelas 42 orang

20 orang gemar matematika dan 25 orang gemar Bahasa Indonesia

Ditanya: Banyaknya siswa yang gemar matematika dan Bahasa Indonesia?

Jawab:

Pertama-tama, kita misalkan banyaknya siswa yang gemar matematika dan IPA adalah x.

Sehingga,

Banyaknya siswa yang gemar matematika adalah 20 - x

Banyaknya siswa yang gemar Bahasa Indonesia adalah 25 - x

Selanjutnya, kita mencari nilai x-nya.

42 = (20 - x) + (25 - x) + x

42 = 20 - x + 25 - x + x

42 = 45 - x

x = 3

Dengan demikian, kita peroleh bahwa siswa yang gemar matematika dan Bahasa Indonesia adalah 3 orang.