A. Himpunan dan
Notasinya
Pengertian Himpunan
Himpunan adalah
kumpulan benda atau objek yang terdefinisi dengan jelas.
Untuk lebih jelasnya,
coba Gengs perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 1
"Kumpulan
bunga-bunga yang indah". Kalimat pertama ini tidak dapat kita sebut
himpunan karena bunga yang indah itu relatif (bunga yang indah menurut
seseorang belum tentu indah menurut orang lain). Dengan kata lain,
kumpulan bunga indah tidak dapat didefinisikan dengan jelas.
Contoh 2
"Rombongan siswa SMP
PP yang berwisata ke pulau dewata". Kalimat kedua ini adalah himpunan.
Mengapa? karena dengan jelas pada kalimat tersebut dikatakan bahwa yang
berwisata ke pulau dewata ialah siswa-siswi SMP PP.
Contoh 3
"Kumpulan makanan
enak". Kalimat ini bukan merupakan suatu himpunan, karena makanan enak
seseorang belum tentu enak menurut orang lain. Dengan kata lain, objek yang
terdapat pada kalimat tersebut tidak terdefinisi dengan baik.
Contoh 4
"Kumpulan
bilangan cacah yang kurang dari5". Kalimat ini merupakan himpunan karena
anggotanya dapat disebutkan yaitu 0, 1, 2, 3 dan 4.
Lambang Himpunan
Suatu himpunan biasanya diberi nama dengan huruf kapital, seperti A, B, X, Z dan
sebagainya. Anggota himpunan dituls di antara tanda {} (kurung kurawal), dan
antara anggota yang satu dengan lainnya dipisahkan dengan tanda koma (,).
Untuk lebih jelasnya,
coba Gengs perhatikan contoh berikut:
A adalah himpunan
bilangan asli yang kurang dari 6.
Kalimat diatas
tersebut dapat kita tulis, A = {1, 2, 3, 4, 5}
Menyatakan Suatu
Himpunan
Ada 3 (tiga) cara yang
dapat dilakukan untuk menyatakan suatu himpunan yaitu sebagai berikut:
1. Menyatakan suatu
himpunan dengan kata-kata
Perhatikan contoh
berikut.
W = {empat huruf
pertama dalam abjad latin}
H = {tokoh-tokoh yang
pernah menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009}
A = {bilangan cacah
yang kurang dari sepuluh}
2. Menyatakan suatu
himpunan dengan notasi pembentuk himpunan
Ketentuan penulisan
notasi pembentuk himpunan adalah sebagai berikut:
{x|.......}
Keterangan:
x = variabel atau
peubah yang menyatakan anggota suatu himpunan
| = dibaca "di
mana"
.... = penyataan
kalimat matematika yang menjadi syarat keanggotaan.
Perhatikan contoh
berikut
A = {x|x = lima huruf
pertama dalam abjad latin}
Dibaca : Himpunan A
adalah himpunan yang anggotanya p, dimana p adalah lima huruf pertama dalam
abjad latin.
H = {x|x = tokoh-tokoh
yang pernah menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009}
Dibaca : Himpunan X
adalah himpunan yang anggotanya x, dimana x adalah tokoh-tokoh yang pernah
menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009.
3. Menyatakan suatu
himpunan dengan cara mendaftar
Pada metode ini,
anggota himpunan yang disebutkan satu per satu dalam kurung kurawal yang setiap
anggota himpunan dipisah kan dengan tanda koma.
Perhatikan contoh
berikut ini.
H = {Soekarno,
Soeharto, B.J. Habibie, Abdurrahaman Wahid, Megawati, Susilo Bambang Yudoyono}
A = {0, 1, 2, 3}
L = {a, b, c, d, e}
B. Anggota Himpunan
Setiap benda/objek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut
anggota/unsur/elemen himpunan tersebut. Untuk menyatakan suatu objek merupakan
anggota himpunan, ditulis dengan lambang “∈” sedangkan untuk menyatakan suatu objek
bukan, anggota himpunan ditulis dengan lambang “∉”.
Perhatikan contoh
berikut
Contoh 1
Misalkan H adalah
himpunan huruf-huruf pada kata “MERDEKA” maka H adalah himpunan yang
anggota-anggotanya terdiri atas huruf-huruf M, E, R, D, E, K dan A. Huruf
M, E, R, D, E, K dan A termasuk anggota himpunan H. Banyaknya anggota himpunan
H adalah 6 buah, yaitu M, E, R, D, E, K dan A ditulis n(H) = 6.
Contoh 2
Misalkan I adalah
himpunan huruf-huruf pada kata “MATEMATIKA” maka I adalah himpunan
yang anggota-anggotanya terdiri atas huruf-huruf M, A, T, E, M, A, T, I, K dan
A. Huruf M, A, T, E, M, A, T, I, K dan A termasuk anggota himpunan I.
Banyaknya anggota himpunan I adalah 10 buah, yaitu M, A, T, E, M, A, T, I, K
dan A ditulis n(I) = 10.
Himpunan dengan banyak
anggota berhingga disebut himpunan hingga, sedangkan himpunan dengan banyak
anggota tidak berhingga disebut himpunan tidak berhingga. Misalnya, A adalah
himpunan bilangan asli, maka anggota-anggota adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan
seterusnya maka anggota himpunan A adalah tidak berhingga, ditulis n(A) = tidak
berhingga.
C. Himpunan Bagian
Pengertian Himpunan
Bagian
Himpunan A adalah himpunan bagian dari B, jika dan hanya jika setiap anggota
dari A merupakan anggota dari B. Ditulis A ⊂ B, dibaca "A himpunan bagian B".
Perhatikan
himpunan-himpunan berikut:
A = {himpunan hewan}
B = {himpunan hewan
berkaki empat}
C = {himpunan hewan
berkaki empat yang bertelur}
Misalkan A, B dan C
adalah sebagai berikut:
A = {kucing, anjing,
buaya, kura-kura, burung}
B = {kucing, anjing,
buaya, kura-kura}
C = {buaya, kura-kura}
Jika kita perhatikan,
setiap anggota himpunan B merupakan anggota himpunan A, ditulis B ⊂ A dan setiap anggota himpunan C merupakan
anggota himpunan B, ditulis C ⊂
B. Namun, kita tidak dapat menuliskan A ⊂ B karena ada anggota A yang bukan merupakan
anggota B, yaitu burung. Oleh karena itu himpunan yang demikian ditulis A ⊄ B.
Menentukan Banyak Himpunan
Bagian yang Mungkin (Rumus)
Banyaknya suatu
himpunan, dengan mudah dapat kita tentukan dengan menggunakan rumus.
Perhatikan
himpunan-himpunan berikut!
A = {a}, banyaknya
himpunan bagian ada 2 yaitu {a} dan ∅
A = {a, b}, banyaknya
himpunan bagian ada 4 yaitu {a} {b} {a, b} dan ∅
A = {a, b, c },
banyaknya himpunan bagian ada 8 yaitu {a} {b} {c} {a, b} {a, c} {b, c} {a, b,
c} dan ∅
A = {a, b, c, d},
banyaknya himpunan bagian ada 16 yaitu {a} {b} {c} {d} {a, b} {a, c} {a, d} {b,
c} {b, d} {c, d} {a, b, c} {a, b, d} {a, c, d} {b, c, d} {a, b, c, d} dan
∅
Dari 4 (empat)
himpunan di atas dapat kita lihat bahwa
n(A) = 2 = 2^1
n(A = 4 = 2^2
n(A) = 8 = 2^3
n(A = 16 = 2^4
Dengan demikian kita
dapat membuat suatu kesimpulan yaitu sebagai berikut
Jika banyak anggota dari suatu himpunan ada "n" maka dari himpunan
tersebut dapat dibuat himpunan bagian sebanyak 2n.
Contoh:
Tentukan banyaknya
himpunan bagian dari A jika A = {1,2,3}
Jawab:
n(A) = 3
jadi, N = 2³ = 8
Himpunan bagian dari A
adalah sebagai berikut:
A= {1} {2} {3} {1,2}
{1,3} {2,3} {1,2,3} ∅
D. Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong
dinyatakan dengan lambang "{}" atau "∅".
Perhatikan contoh
berikut ini.
Contoh 1
Himpunan A adalah
himpunan yang anggotanya merupakan bilangan asli antara 3 dan 4.
Jawab:
A =∅ atau A = {} karena tidak ada bilangan asli
antara 3 dan 4.
Contoh 2
Jika H adalah himpunan
nama-nama hari yang dimulai dengan huruf B, nyatakan dalam notasi himpunan L
Jawab :
H =∅ atau H = {} karena tidak ada nama hari yang
dimulai dengan huruf B.
Contoh 3
B = {bilangan cacah
antara 2 dan 3}
Jawab:
Himpunan ini tidak
memiliki angota, sehingga himpunan ini disebut kosong.
Ditulis, B = {} atau B
= ∅
Contoh 4
Selidikilah apakah
himpunan berikut kosong atau bukan!
a. himpunan bilangan
prima genap
b. himpunan bilangan
genap yang habis dibagi 7
c. himpunan nama
bilangan yang lamanya 32 hari tiap bulan
Jawab:
a. Bukan himpunan
kosong karena ada anggotanya, yaitu: 2
b. Bukan himpunan
kosong karena ada anggotanya, salah satunya adalah 42 habis dibagi 7 yaitu 6
c. Himpunan kosong,
karena tidak ada 32 hari dalam sebulan
E. Himpunan Semesta
Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua objek
yang sedang dibicarakan. Hal ini berarti semesta pembicaraan mempunyai anggota
yang sama atau lebih banyak dari pada himpunan yang sedang dibicarakan.
Himpunan semesta disebut juga himpunan universal dan disimbolkan S atau
U.
Perhatikan contoh
berikut.
Contoh
Jika A = {1, 3, 5, 7}
maka dari himpunan A dapat ditentukan himpunan semesta yang mungkin yaitu.
a. S_1 = {bilangan
ganjil} karena himpunan bilangan ganjil memuat semua anggota A.
b. S_2 = {bilangan
asli} karena himpunan bilangan asli juga memuat semua anggota A.
c. S_3 =
{1,3,5,7,9,11} karena himpunan ini memuat semua anggota A.
F. Diagram Venn
Himpunan dapat
dinyatakan dalam bentuk gambar yang dikenal sebagai diagram Venn. Diagram Venn
diperkenalkan oleh pakar Matematika, Inggris pada tahun 1834-1923 bernama John
Venn dalam membuat diagram Venn yang perlu diperhatikan yaitu:
1. Himpunan semesta
(S) digambarkan sebagai persegi panjang atau bersegi, sedangkan
anggota-anggotanya digambarkan dengan noktah.
2. Setiap himpunan
yang dibicarakan (selain himpunan kosong) ditunjukkan oleh kurva tertutup
sederhana.
3. Jika suatu himpunan
anggotanya terlalu banyak atau tak berhingga maka noktahnya tidak perlu di
gambarkan.
G. Irisan
Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota
A sekaligus menjadi anggota B.
Apabila dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan akan seperti berikut.
A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}
Contoh :
A = {bilangan asli
yang kurang dari sama dengan 5}
B = {bilangan asli
antara 3 dan 7}
Tentukan A∩B
Jawab :
A = {1,2,3,4,5}
B = {4,5,6}
Maka A∩B = {4,5},
karena 4 dan 5 adalah anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota
himpunan B.
H. Gabungan
Gabungan dari dua buah
himpunan akan menghasilkan suatu himpunan baru yang anggotanya terdiri dari
anggota kedua himpunan tersebut. Operasi gabungan pada himpunan disimbolkan
dengan “∪”.
Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan
anggota A atau anggota B.
Apabila dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan akan seperti berikut.
A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}
Perhatikan contoh
berikut.
Misalkan P = {bilangan
asli kurang dari 8} dan Q = {bilangan prima antara 2 dan 13}
Tentukan P ∪ Q !
Jawab:
P = {1,2,3,4,5,6,7}
Q= {3,5,7,11}
Sehingga, P ∪ Q = {1,2,3,4,5,6,7,11}
I. Komplemen
Bila suatu himpunan A, semestanya S, maka komplemen dari A (ditulis Ac) adalah himpunan yang anggotanya merupakan
anggota S yang bukan A.
Apabila dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan akan sebagai berikut.
Ac = {x | x ∈ S atau x ∉ A}
Misalkan:
S = {1,2,3,4,5,6,7}
Q = {2,3,4,}
Himpunan S yang
anggotanya selain anggota himpunan Q adalah {1,5,6,7}.
J. Penerapan Konsep
Himpunan
Himpunan ini tidak
hanya dipelajari di sekolah, namun sering digunakan dalam praktik kehidupan
sehari-hari. Berikut ini adalah contoh kasusnya.
Misalkan suatu kelas
terdiri dari 42 orang. 20 orang gemar matematika dan 25 orang gemar Bahasa
Indonesia. Berapa orang yang gemar keduanya?
Pembahasan
Diketahui:
Banyak siswa di kelas
42 orang
20 orang gemar
matematika dan 25 orang gemar Bahasa Indonesia
Ditanya: Banyaknya siswa yang gemar matematika
dan Bahasa Indonesia?
Jawab:
Pertama-tama, kita misalkan banyaknya siswa yang gemar
matematika dan IPA adalah x.
Sehingga,
Banyaknya siswa yang
gemar matematika adalah 20 - x
Banyaknya siswa yang
gemar Bahasa Indonesia adalah 25 - x
Selanjutnya, kita mencari nilai x-nya.
42 = (20 - x) + (25 -
x) + x
42 = 20 - x + 25 - x +
x
42 = 45 - x
x = 3
Dengan demikian, kita peroleh bahwa siswa yang gemar
matematika dan Bahasa Indonesia adalah 3 orang.
